Maxwell-Gleichungen verstehen

Maxwell-Gleichungen sind die Grundlagen der elektromagnetischen Theorie, die aus vier Gleichungen besteht, die das elektrische und das magnetische Feld in Beziehung setzen. Anstatt die mathematische Darstellung der Maxwell-Gleichungen aufzulisten, konzentrieren wir uns in diesem Artikel auf die tatsächliche Bedeutung dieser Gleichungen. Die erste und zweite Maxwell-Gleichung befassen sich mit statischen elektrischen Feldern bzw. statischen Magnetfeldern. Die dritte und vierte Maxwell-Gleichung befasst sich mit sich ändernden Magnetfeldern bzw. sich ändernden elektrischen Feldern.

Die Maxwell-Gleichungen sind:

1. Gaußsches Gesetz der Elektrizität
2. Gaußsches Gesetz des Magnetismus
3. Faradays Induktionsgesetz
4. Ampere-Gesetz

1. Gaußsches Gesetz der Elektrizität

Dieses Gesetz besagt, dass der elektrische Fluss aus einer geschlossenen Oberfläche proportional zur Gesamtladung ist, die von dieser Oberfläche eingeschlossen wird. Das Gaußsche Gesetz befasst sich mit dem statischen elektrischen Feld.

Betrachten wir eine positive Punktladung Q. Wir wissen, dass die elektrischen Flusslinien von der positiven Ladung nach außen gerichtet sind.

Lassen Sie uns eine geschlossene Fläche mit Ladung Q betrachten _{eingeschlossen} darin. Der Flächenvektor wird immer Normal gewählt, da er die Ausrichtung der Oberfläche darstellt. Der Winkel, den der elektrische Feldvektor mit dem Flächenvektor bildet, sei θ.

Der elektrische Fluss ψ ist

Der Grund für die Wahl des Punktprodukts ist, dass wir berechnen müssen, wie viel elektrischer Fluss durch die Oberfläche fließt, die durch einen normalen Flächenvektor dargestellt wird.

Aus dem Coulomb-Gesetz wissen wir, dass das elektrische Feld (E) aufgrund einer Punktladung Q / 4πε ₀ r ^{2 ist}.

In Anbetracht einer sphärischen Symmetrie lautet die integrale Form des Gaußschen Gesetzes:

Daher ist der elektrische Fluss Ψ = Q _{eingeschlossen} / ε ₀

Hier repräsentiert das _{eingeschlossene} Q die Vektorsumme aller Ladungen innerhalb der Oberfläche. Der Bereich, der die Ladung einschließt, kann eine beliebige Form haben. Um jedoch das Gaußsche Gesetz anzuwenden, müssen wir eine Gaußsche Oberfläche auswählen, die symmetrisch ist und eine gleichmäßige Ladungsverteilung aufweist. Die Gaußsche Oberfläche kann zylindrisch oder kugelförmig oder eben sein.

Um seine Differentialform abzuleiten, müssen wir den Divergenzsatz anwenden.

Die obige Gleichung ist die differentielle Form des Gauß Law oder Maxwell - Gleichung I.

In der obigen Gleichung repräsentiert ρ die Volumenladungsdichte. Wenn wir das Gaußsche Gesetz auf eine Oberfläche mit einer Linienladung oder Oberflächenladungsverteilung anwenden müssen, ist es bequemer, die Gleichung mit der Ladungsdichte darzustellen.

Daher können wir schließen, dass die Divergenz eines elektrischen Feldes über eine geschlossene Oberfläche die von ihm eingeschlossene Ladungsmenge (ρ) ergibt. Durch Anwenden einer Divergenz auf ein Vektorfeld können wir erkennen, ob die vom Vektorfeld eingeschlossene Oberfläche als Quelle oder Senke fungiert.

Betrachten wir einen Quader mit einer positiven Ladung wie oben gezeigt. Wenn wir eine Divergenz auf das aus der Box (Quader) austretende elektrische Feld anwenden, sagt uns das Ergebnis des mathematischen Ausdrucks, dass die betrachtete Box (Quader) als Quelle für das berechnete elektrische Feld fungiert. Wenn das Ergebnis negativ ist, sagt es uns, dass die Box als Senke fungiert, dh die Box enthält eine negative Ladung. Wenn die Divergenz Null ist, bedeutet dies, dass keine Ladung darin ist.

Daraus könnten wir schließen, dass elektrische Monopole existieren.

2. Gaußsches Gesetz des Magnetismus

Wir wissen, dass die magnetische Flusslinie extern vom Nordpol zum Südpol fließt.

Da es aufgrund eines Permanentmagneten magnetische Flusslinien gibt, ist eine magnetische Flussdichte (B) davon zugeordnet. Wenn wir den Divergenzsatz auf die Oberfläche S1, S2, S3 oder S4 anwenden, sehen wir, dass die Anzahl der Flusslinien, die in die ausgewählte Oberfläche ein- und ausgehen, gleich bleibt. Daher ist das Ergebnis des Divergenzsatzes Null. Selbst in der Oberfläche S2 und S4 ist die Divergenz Null, was bedeutet, dass weder der Nordpol noch der Südpol einzeln als Quelle oder Senke wie die elektrischen Ladungen wirken. Selbst wenn wir eine Divergenz des Magnetfelds (B) aufgrund eines stromführenden Drahtes anwenden, stellt sich heraus, dass es Null ist.

Die integrale Form des Gaußschen Gesetzes des Magnetismus ist:

Die Differentialform des Gaußschen Gesetzes des Magnetismus ist:

Daraus könnten wir schließen, dass magnetische Monopole nicht existieren.

3. Faradays Induktionsgesetz

Das Faradaysche Gesetz besagt, dass bei einer Änderung des Magnetflusses (Änderung in Bezug auf die Zeit), die eine Spule oder einen Leiter verbindet, eine EMF in der Spule induziert wird. Lenz hat angegeben, dass die induzierte EMF in einer solchen Richtung sein wird, dass sie der Änderung des Magnetflusses entgegenwirkt, der sie erzeugt.

Wenn in der obigen Darstellung eine leitende Platte oder ein Leiter unter den Einfluss eines sich ändernden Magnetfelds gebracht wird, wird darin ein zirkulierender Strom induziert. Der Strom wird in einer solchen Richtung induziert, dass das von ihm erzeugte Magnetfeld dem sich ändernden Magnet entgegenwirkt, der ihn erzeugt hat. Aus dieser Darstellung ist klar, dass ein sich änderndes oder variierendes Magnetfeld ein zirkulierendes elektrisches Feld erzeugt.

Aus Faradays Gesetz, emf = - dϕ / dt

Wir wissen das, ϕ = _{geschlossene Fläche} ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS

Elektrisches Feld E = V / d

V = ʃ E.dl

Da sich das elektrische Feld in Bezug auf die Oberfläche (Kräuselung) ändert, besteht eine Potentialdifferenz V.

Daher lautet die Integralform der vierten Maxwell-Gleichung:

Durch Anwendung des Satzes von Stoke

Der Grund für die Anwendung des Stoke-Theorems besteht darin, dass sich die internen Kräuselungskomponenten des Vektors gegenseitig aufheben, wenn wir eine Krümmung eines rotierenden Feldes über eine geschlossene Oberfläche nehmen, und dies führt zur Bewertung des Vektorfeldes entlang des geschlossenen Pfades.

Daher können wir das schreiben,

Die Differentialform der Maxwellschen Gleichung ist

Aus dem obigen Ausdruck ist klar, dass ein Magnetfeld, das sich in Bezug auf die Zeit ändert, ein zirkulierendes elektrisches Feld erzeugt.

Hinweis: In der Elektrostatik ist die Kräuselung eines elektrischen Feldes Null, da es radial nach außen aus der Ladung austritt und keine rotierende Komponente damit verbunden ist.

4. Ampere-Gesetz

Das Ampere-Gesetz besagt, dass ein elektrischer Strom, der durch einen Draht fließt, ein Magnetfeld um ihn herum erzeugt. Mathematisch ergibt das Linienintegral des Magnetfeldes um eine geschlossene Schleife den von ihm eingeschlossenen Gesamtstrom.

ʃ B .dl = μ ₀ I eingeschlossen

Da sich das Magnetfeld um den Draht kräuselt, können wir den Satz von Stoke auf das Ampere-Gesetz anwenden.

Daher wird die Gleichung

Wir können den eingeschlossenen Strom in Bezug auf die Stromdichte J darstellen.

B = μ ₀ H unter Verwendung dieser Beziehung können wir den Ausdruck schreiben als

Wenn wir eine Divergenz auf die Krümmung eines rotierenden Vektorfeldes anwenden, ist das Ergebnis Null. Dies liegt daran, dass die geschlossene Oberfläche nicht als Quelle oder Senke fungiert, dh die Anzahl der in die Oberfläche ein- und ausströmenden Flüsse ist gleich. Dies kann mathematisch dargestellt werden als:

Betrachten wir eine Schaltung wie unten dargestellt.

An die Schaltung ist ein Kondensator angeschlossen. Wenn wir eine Divergenz in der Region S1 anwenden, zeigt das Ergebnis, dass sie nicht Null ist. In mathematischer Notation

Es gibt einen Stromfluss in der Schaltung, aber im Kondensator werden die Ladungen aufgrund eines sich ändernden elektrischen Feldes über die Platten übertragen. Der Strom fließt also physikalisch nicht durch ihn hindurch. Maxwell prägte diesen wechselnden elektrischen Stroms als Verschiebungsstrom (J _D). Aber Maxwell prägte den Begriff Verschiebungsstrom (J _D) unter Berücksichtigung der Symmetrie des Gesetzes heißt Faraday, wenn ein Magnetfeld in der Zeit ändert, dann wird ein elektrisches Feld erzeugt durch Symmetrie, änderndes elektrisches Feld ein Magnetfeld erzeugt.

Die Kräuselung der Magnetfeldstärke (H) im Bereich S1 beträgt

Die Integralform der vierten Maxwell-Gleichung kann ausgedrückt werden als:

Die Differentialform von Maxwells vierter Gleichung lautet:

Alle diese vier Gleichungen, entweder in integraler Form oder in Differentialform, werden als Maxwellsche Gleichung bezeichnet.